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一道全国初中数学竞赛题:求AC的长,看似简单,正确率却不足10%

来源:用户 RT,我想知道:一道全国初中数学竞赛题:求AC的长,看似简单,正确率却不足10% 收藏 编辑:吕秀秀

大家好,今天和大家分享一道全国初中数学竞赛题:在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠B=15°,BC=1,求AC的长度?这道题目看起来很简单,但是据说正确率却不足10%。下面我们一起来看一下这道题,如图1。

一道全国初中数学竞赛题:求AC的长,看似简单,正确率却不足10%

图1

不少网友看到这道题都会觉得很简单:AC=BC·tan15°即可求出AC的长。但是在初中数学中,15°并不算是特殊角,其三角函数值也不能直接使用,那么究竟该怎么求解呢?

初中阶段虽然没有要求记住15°角的三角函数值,但是一般老师都会教学生去推导15°和75°的三角函数值。下面先介绍一个15°角三角函数值的推导方法。

一道全国初中数学竞赛题:求AC的长,看似简单,正确率却不足10%

图2

如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=1。接下来我们来构造出15°的角,怎么构造呢?

延长CB至D,使得BD=AB。

在三角形ABD中,就有∠D=∠BAD;

又∠ABC=∠D+∠BAD,所以∠D=15°。

这样一来,我们就构造出了一个15°的角,然后在三角形ACD中进行计算。

因为AC=1,所以BC=√3,AC=2,从而得到BD=2;

由勾股定理可以算出AD=√6+√2,此时可以求出15°角的三角函数值。

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图3

再回到竞赛题,15°不是特殊角,所以我们需要通过做辅助线构造出一个特殊角,比如30°角。那么怎么构造呢?将图3和图1比较一下是不是可以发现两个图形基本差不多啊?所以我们可以从图3得到启发,那就是在三角形内部构造出一个30°角出来。

如图,作AB的垂直平分线交BC于点E,连接AE。

根据垂直平分线的性质,得到AE=BE,所以∠BAE=∠B=15°,所以∠AEC=∠BAE+∠B=30°。这样就构造出了一个30°的角,如图4。

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图4

设AE=x,则BE=x,CE=BC-BE=1-x。在直角三角形ACE中,因为∠AEC=30°,所以CE/AE=√3/2,即(1-x)/x=√3/2。解得x=4-2√3,所以AC=2-√3。如图5。

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图5

另外,也可以直接设AC=x。在直角三角形ACE中,因为∠C=90°,∠AEC=30°,所以CE=√3x,AE=2x,所以BE=2x,所以BC=CE+BE=√3x+2x=(√3+2)x=1,同样可以解得x=2-√3,如图6。

一道全国初中数学竞赛题:求AC的长,看似简单,正确率却不足10%

图6

这是一道几何题,据说当时正确率不足10%,难点就在于作出适当的辅助线。只要辅助线做出来了,这道题的难度就变得非常简单。其实作辅助线一直是初中几何题的一个重点和难点,很多同学都是因为作不出辅助线而无法求解。你觉得这道题难吗?

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