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【原】《四元玉鑑》之同體連枝開方術

来源:用户 RT,我想知道:【原】《四元玉鑑》之同體連枝開方術 收藏 编辑:王阿强


上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:“連枝同體術”或稱之為“開同體連枝平方”,其說早見於宋?秦九韶之《數書九章》,其要點為方程式左右方各只有一項又為平方數時,則左右方可各自開方而解題,本文以《四元玉鑑》之例說明之。

關鍵詞:連枝同體術、徽圓、徽率

“連枝同體術”或稱之為“開同體連枝平方”,其說早見於宋?秦九韶之《數書九章》。以下為“開同體連枝平方”之一般情況,其要點為方程式左右方各只有一項又為平方數時,則左右方可各自開方而解題。

a0x2 + a2 = 0,a0 與 – a2 同為平方數,設a0 = α2 , – a2= β2,於是

a0x2 + a2 = 0 可寫成

α2x2β2 = 0,移項得

α2x2 = β2,開方得

αx = β

x =

此法以現代數學而言,並無特別之處,算法應當如此,縱使左右兩方非平數,亦可開方;但以古代而言,此法屬先進,可減少大量運算步驟,因為古代之開方式只在一方,非左右兩方,例如上例,古人只從α2x2β2 = 0 式求 x,其計算法頗為繁複。

《四元玉鑑》承襲《數書九章》之“開同體連枝平方”說,見以下之二例。但《四元玉鑑》有另外之例其形式非如上,但仍稱之為“連枝同體術”,筆者另文介紹。

(1)

和分索隱(一十三問)

今有句三步十分步之九,股五步五分步之一。問:弦幾何?

答曰:六步二分步之一。

術曰:立天元一為弦,如積求之。得一十萬五千六百二十五為益實,二千五百為從隅,平方開之得弦。不盡,按連枝同體術求之。合問。

解:

“句”,同“勾”,直角三角形較短之直角邊。

設直角三角形弦長為x 步,依題意可列出以下方程式:

x2 = (3)2 + (5)2

= ()2 + ()2

= +

2500x2 = 38025 + 67600

2500x2 = 105625 --------------------------------------- (1)

2500x2 – 105625 = 0。

上式之 – 105625 為益實,即負常數;益,負也。2500 為從隅,“隅”,未知數之最高次方之係數。從,即正數。

為配合《四元玉鑑》之算法,上式不化簡,注意 100 與25皆為平方數,其積 2500 亦為平方數。

重列 (1) 式 2500x2 = 105625,左右開方得:

50x = 325

x =  = 6= 6

(1) 式配合上文所云之 α2x2 = β2 式, 左方 2500x2 相當於 α2x2,開方後即得 50x = αx,右方亦為一平方數,開方後兩數仍相等,x 之係數移右為除即可成為答案,此即為“開同體連枝平方”。

今依舊法先求 105625 之開方:

x12 – 105625 = 0 -------------------------------------- (2),

先設:f(x1) = x12– 105625,以 x1 = 100、1000 代入得:

f(100) = 1002 – 105625 = 負數

f(1000) = 10002 – 105625 = 正數。

x1 必介於 100 與 1000 之間,今以 x1 = 200、300、400、…代入直至變號為止,得:

f(300) = 3002 – 105625 = 負數,

f(400) = 4002 – 105625 = 正數。

x1 必介於 300 與 400 之間,今取 300 之數,又設  x1 = 300 + x2 ,其中 10≦ x2 ≦ 90。故式 (2) 可寫成:

(300 + x2) 2– 105625 = 0

90000 + 600x2 + x22– 105625 = 0

x22 + 600x2 – 15625 = 0。

今設 f(x2) = x22 + 600x2 – 15625,以 x2 = 10、20、30、…代入直至變號為止,得:

f(20) = 202+ 600 × 20 – 15625 = 400 + 12000 – 15625 = – 3225

f(30) = 302+ 600 × 30– 15625 = 900 + 18000 – 15625 = 3275

f(20) 與 f(30) 變號,故 x2 必介於20 與 30 之間,今取 20 之數,
x1 = 300 + x2 = 300 + 20 = 320。

又設 x1 = 320 + x3,其中1 ≦ x3 ≦ 9。故式 (2) 可寫成:

(320 + x3)2 – 105625 = 0

102400 + 640x3 + x32– 105625 = 0

x32 + 640x3 – 3225 = 0。

今設 f(x3) = x32 + 640x3 – 3225,今以 x3 = 1、2、3、4 及 5 代入,得:

f(5) = 52+ 640 × 5 – 3225 = 25 + 3200 – 3225 = 0。故 x3 = 5 為上式之解。

所以 x1 = 320 + x3 = 320 + 5 = 325。

即 50x = 325

x =  = 6= 6

答曰:弦長六步二分步之一。

“開同體連枝平方”比計算原式 2500x2 – 105625 = 0 式簡單。

(2)

今有平圓積四十九步三百一十四分步之二百三十九,問為徽圓徑幾何?

答曰:七步一百五十七分步之一百五十一。

術曰:立天元一為徽圓徑,如積求之。得一百五十六萬二千五百為益實,二萬四千六百四十九為從隅,平方開之。不盡,以連枝同體術求之。合問。

解:

“平圓”即平面之圓,其面積單位為“方步”。“徽圓”指劉徽制定 π 為 = 3.14 之圓。朱世傑《新編筭學啟蒙?總括》〈古法圓率?劉徽新術〉曰:

周一百五十七尺,徑五十尺。

意指當圓直徑為 50 尺時,其圓周長 157 尺,是為“徽率”。

題意指一圓之 π 為 ,其面積為  49 方步,求其直徑。

今設其直徑為 x 步,依題意可列出以下方程式:

x2 ×= 49

x2 ×=

x2 ×= ﹝依《四元玉鑑》之數約簡﹞

分母各除以 2 即得上式。除以 2 之原因乃令左方分母變為 100,是一平方數,左方分母變為 157,分母 157 右移後與分子相乘得 1572,即:

1572 x2 = 1562500

24649x2 – 1562500 = 0

得一百五十六萬二千五百為益實,即常數為負 1562500,x 最高次方之係數為正 24649,是為從隅。

重列 24649x2 = 1562500

即 1572 x2 = 1562500,左右兩方開方得:

157 x = 1250﹝注意左右兩方皆為平方數﹞

x = 7﹝步﹞。

以下為《新編筭學啟蒙?總括》原文﹝注意各種圓周率﹞:

今依舊法先求 1562500 之開方,先設:

x12 – 1562500 = 0 ------------------------- (1)

又設:f(x1) = x12– 1562500

憑觀察可知 x1 為千位數,又可知:

f(1000) = 1000000 – 1562500 = – 562500

f(2000) = 4000000 – 1562500 = 2437500。

f(1000) 與 f(2000) 變號,故 1000 < x< 2000,今取 1000 之數。

又設 x1 = 1000 + x2,100 ≦ x2 ≦ 1000,(1) 式可寫成:

(1000 + x2)2 – 1562500

= 1000000 + 2000 x2 + x22 – 1562500

= x22+ 2000 x2 – 562500。

今設 f(x2) = x22 + 2000 x2 – 562500,以 100、200、300、… 分別代入 f(x2) ,得:

f(200) = 2002 + 2000 × 200 – 562500 = – 122500

f(300) = 3002 + 2000 × 300 – 562500 = 127500。

f(200)與 f(300) 變號,所以x2 必介於 200 與300 之間,取 200 之數。即 x1 之百位數為 2。即 x1 之千位與百位為 1000 + 200 = 1200。

x1 = 1200 + x3,10 ≦ x3< 100,於是:

式 (1) 可寫成 (1200 + x3)2 – 1562500 = 0

1440000 + 2400x3 + x32 – 1562500 = 0

x32 + 2400x3– 122500 = 0。

今設 f(x3) = x32 + 2400x3– 122500,今以 10、20、30、…50 分別代入 f(x3),得:

f(50) = 502+ 2400 × 50 – 122500 = 2500 + 120000 – 122500 = 0。

故 50 為 x32 + 2400x3– 122500 = 0 之解。

x1 = 1200 + x3 = 1200 + 50 = 1250。

故原式 1572 x2 = 1562500,開方得:

157 x = 1250

x = 7﹝步﹞。

以上即“連枝同體術”,可參閱前文。

答曰:圓徑為七步一百五十七分步之一百五十一。

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