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10题突破!极易混淆的乘法公式(上)

来源:用户 长沙j喜 收藏 编辑:吕秀秀

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01

写在前面

在整式乘法中,同学们最容易混淆的是完全平方公式和平方差公式,为此,在期中考试前,我们分两讲,分别对公式作一个认真的解读,防止再混淆!

一、概念剖析

完全平方公式:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

文字叙述:

两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们积的2倍.

口诀:

首平方,尾平方,积的两倍放中央,符号看前方.

解读:

1、公式左边为完全平方,右边为二次三项式.

2、右边有两项为两数的平方和,另一项是两数积的2倍,且与左边中间的符号相同.

3、公式中的字母a,b可以表示数,单项式和多项式.

4、(首±尾)2=首2±2·首·尾+尾2.

二、基本计算

例1:(-3m+2n)2

分析:

本题中,首项为负,我们计算时,一般将其转化为正,利用互为相反数的偶次幂相等来转化,也可利用加法交换律.

解答:

原式=(2n-3m)2

=(3m-2n)2

=(3m)2-2×3m·2n+(2n)2

=9m2-12mn+4n2

变式:(-3m-2n)2

分析:

显然,本题只能用互为相反数的偶次幂相等来转化更快,且符号不易出错.

解答:

原式=(3m+2n)2

=9m2+12mn+4n2

例2:(a+b+c)2

分析:

本题中是三项的和的平方,我们可以将其中两项作为一个整体,比如a+b看作公式中的a,c看作公式中的b;也可以a看作公式中的a,b+c看作公式中的b.

解答:

法1:

原式=[(a+b)+c]2

=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

法2:

原式=[a+(b+c)]2

=a2+2a(b+c)+(b+c)2

=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2

变式:(2a-b+3c)2

分析:

显然,本题将2a-b看作整体更合适.

解答:

原式=[(2a-b)+3c]2

=(2a-b) 2+2(2a-b)·3c+(3c)2

=4a2-4ab+b2+12ac-6bc+9c2

例3:1042

分析:

本题中,我们可以把104看成100+4,则问题转化为用完全平方公式解决.

解答:

原式=(100+4)2

=1002+2×100×4+42

=10000+800+16

=10816

变式:9.92

分析:

本题中,我们可以把9.9看成10-0.1.

解答:

原式=(10-0. 1)2

=102-2×10×0.1+0.12

=100-2+0.01

=98.01

三、技能提升

例1:在下列多项式乘法中,能用完全平方公式计算的有,如能,写出化简的结果

(1) (-a+2b)2                         (     )

(2) (b+2a)(b-2a)              (     )

(3) (1+a)(-a-1)              (     )

(4) (-3ac+b)(3ac-b)          (     )

(5) (a2-b)(a+b2)               (     )

(6) ( 100-1)(100+1)            (     )

分析:

我们把(a+b)2展开,即可写成(a+b) (a+b),其中,第一个括号中的a,与第二个括号中的a相同,b也相同,可以称其为“两同”,是不是只有“两同”的情况可以用完全平方公式呢?

不止,如(a+b)(-a-b),a与-a,b与-b互为相反数,可以称其为“两反”,我们可以写成(a+b)[-(a+b)],即-(a+b)2,则“两反”的情况也可以用完全平方公式.

解答:

(1)可以,两同,转为(a-2b)2

(2)不可以,一同一反

(3)可以,两反,转为-(1-a)2

(4)可以,两反,转为-(3ac-b)2

(5)不可以,

(6)不可以,一同一反

例2:(6m2-5n)(5n-6m2)

分析:

显然,这是一个“两反”形式,所以可以用完全平方公式,注意前面需添负号.

解答:

原式=-(6m2-5n)2

=-(36m4-60m2n+25n2)

=-36m4+60m2n-25n2

变式:(-2n+m-3p)(2n-m+3p)

分析:

类似例2,注意前面添负号,去括号时要变号.

解答:

原式=-(2n-m+3p)2

=-[(2n-m)+3p]2

=-[(2n-m)2+2(2n-m)·3p+(3p)2]

=-(4n2-4mn+m2+12np-6mp+9p2)

=-4n2+4mn-m2-12np+6mp-9p2

例3:

1022-204×2+4

分析:

本题中,我们关注到整个多项式有3项,其中首项和尾项都是平方形式,可以想到是完全平方公式的展开形式,那么,我们可以逆用完全平方公式简算.

解答:

原式=1022-2×102×2+22

=(102-2)2

=10000

变式:化简求值,(m+n)2-2(m-n)(m+n)+(n-m)2,其中m=2019,n=-2

分析:

本题中,我们不难发现,如将m+n看作整体,2(m-n)(m+n)看作中间项的2×首×尾,则尾项的底数换成m-n为整体,则整个式子又可看作是完全平方公式的展开形式,直接逆用完全平方公式简算.

解答:

原式=(m+n)2-2(m-n)(m+n)+(m-n)2

=[(m+n)-(m-n)]2

=(2n)2=4n2

当n=2时,原式=4×22=16

四、知二推二问题

完全平方公式是初一阶段的一个重点,它可以考查配方,可以考查简便运算,而且又是与初三二次函数的基础.我们将完全平方公式进行解剖,可以得到四个重要的代数式,(a+b)2,(a-b)2,ab,a2+b2,而且,我们只要知道其中的两个,就能推出另外两个,即知二推二.值得一提的是,这些项的次数都是二次,如果给出的式子是(a+b),(a-b),则需要先去平方,使之变为二次.

例1:已知(x-y)2=3,(x+y)2=7,求xy,x2+y2

分析:

本题可以直接运用知二推二的公式,两式相加÷2或两式相减÷4.

解答:

例2:已知a-b=7,ab=3,求(a+b)2的值.

分析:

我们所说的“知二推二”,知道的都是二次项,而给出的a-b是一次项,因此,要想到先平方,变为二次.

解答:

(a+b)2=(a-b)2+4ab

=72+4×3=61

变式:已知a-2b=4,ab=6,求a+2b的值

分析:

与上例类似,我们要平方,但需要注意的是,两式子的结果相差了几ab,最后计算时,别忘了把二次降为一次,注意两解.

解答:

(a+2b)2=a2+4ab+4b2

(a-2b)2=a2-4ab+4b2

∴(a+2b)2=(a-2b)2+8ab=16+48=64

a+2b=±8

五、配方法综合运用

例1:若a、b满足 a2+b2-4a+6b+13=0,求代数式(a+b)2019的值.

分析:

本题中,我们注意到等式左边有五项,其中有两项可以看作首平方,则-4a,6b可以看作2×首×尾,那自然想到把13拆成两个尾平方,这样的方法叫配方法.通常将其中一项(一个数)拆成两个完全平方项(数),凑两个完全平方式,使之变成0+0型.

解答:

 a2+b2-4a+6b+13

=a2-4a+4+b2+6b+9

=(a-2)2+(b+3)2

∴(a-2)2+(b+3)2=0,a=2,b=-3,∴原式=-1.

变式:若x、y满足x2+4y2=6x-16y-25,求代数式xy 的值.

分析:本题可以与例题一样如法炮制,但需要先移项.

解答:

由题意得,x2-6x+4y2+16y+25=0

x2-6x+9+4y2-16y+16=0

(x-3)2+(2y+4)2=0

例2:4x2-kx+81是完全平方式,求k.

分析:

本题中,-kx作为中间项,要注意是2首尾的形式,同时,不要忘了两解.

解答:

原式=(2x±9)2

=4x2±36x+81

∴k=±36

变式:16x2+9添一项整式是共三项的完全平方式,求要添的项

分析:

要使多项式变为完全平方式,则必须为首2±2×首×尾+尾2形式,那么,要添加的整式就可以放在首2,2×首×尾,尾2三个位置上,但是,要注意,添加的代数式是否为整式.

解答:

思考题:

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