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此题属于中考常见题型,求圆中线段的长,利用参数构建方程是关键

来源:用户 RT,我想知道:此题属于中考常见题型,求圆中线段的长,利用参数构建方程是关键 收藏 编辑:从小磊

例题:(初中数学综合题)如图,△ABD内接于半径为5的⊙O,连结AO并延长交BD于点M,交⊙O于点C,过点A作AE∥BD,交CD的延长线于点E,且AB=AM.

(1)求证:△ABM∽△ECA.

(2)当CM=4OM时,求BM的长.

此题属于中考常见题型,求圆中线段的长,利用参数构建方程是关键

知识回顾

平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,截得的对应线段的长度成比例。

推论:平行于三角形一边的直线,截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

分析:(1)由AE∥BD,可得∠AMB=∠CAE,又圆周角∠ABD=∠ACD,根据两角对应相等的两个三角形相似即可得证.

(2)根据AB=AM可以得出EA=EC,DM=DC,在根据AE∥BD,利用平行线分线段成比例定理以及勾股定理求出DM和DC,再利用相似三角形的性质即可求出BM的长.

请大家注意,想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。下面,我们就按照以上思路来解答此题吧!

解答:(以下过程可以部分调整)

证明:(1)∵AE∥BD,

∴∠AMB=∠CAE,

又∵∠ABD=∠ACD,(圆周角)

∴△ABM∽△ECA.

(2)解:∵AB=AM,

∴∠AMB=∠ABD,

∠CAE=∠ACE,

∴AE=CE,

∵CM=4OM,设OM=k,则CM=4k,

∴OA=OC=5k=5,

∴k=1,

∴CM=4,AM=6,CA=10,

∵DM∥AE,

∴DM:AE=CM:CA=4:10,

设DM=4a,则EA=EC=10a,

∵AB=AM,

∴∠ABM=∠AMB,

∵∠AMB=∠DMC,∠ABM=∠C,

∴∠DMC=∠C,

∴DM=DC=4a,

∴DE=EC-DC=6a,

∵AC是直径,

∴∠ADE=∠ADC=90°,

∴AD^2=AE^2?DE^2,

∴AD=8m,

∵AD^2+CD^2=AC^2,

∴(8m)^2+(4m)^2=10^2

∵a>0,

∴a=√5/2,

∴DM=2√5,

∵△AMB∽△DMC,

∴BM/CM=AM/DM,

∴BM/4=6/(2√5),

∴BM=12√5/5.

(完毕)

这道题属于综合题,考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是巧妙利用参数构建方程解决问题。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家留言讨论。

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