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【原】“牛吃草问题”:列表推导公式好,还是列方程组的方法好

来源:用户 数学与语文 收藏 编辑:杨美丽
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“牛吃草问题”是小学奥数里一个重要的知识点。关于“牛吃草问题”的由来及相关公式见下图。市面上的奥数教材,或是老师讲解时,一般都是教我们几个公式,做题目时,让我们根据情况往公式里带数字,但我发现这样的学习,当时是可以做一些题目的,过一段时间,或者是把“牛吃草”演变成别的表述,就一脸茫然了,为什么呢?

因为没有完全吃透“牛吃草问题”的内涵,如果只是记几个像上图中的公式,这只是皮毛而已,真正要理清的是我们的思维,明白“牛吃草问题”的实质,能推导出公式及它的变形。我们用一道实际的例题,边讲边总结。

例题:“天苍苍,野茫茫,风吹草低见牛羊。”腾格尔舅舅想考考来牧场度假的贝贝,便说了自己的一个发现:如果他的牧场上养49头牛,12天就把牧场的青草吃光了;如果养35头,够吃20天的。因为身体原因,现在他只养了24头牛,而且牧场上青草是匀速生长的,牧场上的青草够吃多长时间呢?你能帮贝贝计算出来嘛?

读完题目,我们先来找一下题目里存在的各种数量,简单标出他们之间的关系:

牛的数量(是变化的)、

牛吃草的时间(也是变化的)、

青草的总数量(肯定是变化的)、

青草的生长速度(匀速的,不变量)、

牧场原油青草的数量(这个不发生变化)、

新长出的青草数量(生长速度不变,但总量随时间变化)

大家都能找到吗?通过上面的图,我们可以看到,随着“牛的数量”、“牛吃草的时间”这两个量的变动,“青草的总数量”也是变动的,而“原有的青草数量”和“青草的生长速度”这两个量都是不变的。并由此得到这样两个基础而重要的公式:

青草总数 = 牛的数量 × 牛吃草的时间

青草总数 = 青草生长速度 ×牛吃草的时间 +原有青草数量

接下来,为了方便起见,我们用字母来代替这些数量的文字描述,再列个表,理一理它们的关系,其中我们假设:

牛的数量      →m

牛吃草的时间  →k

青草总数      →y

青草生长速度  →x

原有青草数量  →b

之所以要假设这样的字母,等以后你学习了函数就会懂,y=kx+b的形式,其实就是一次函数的表达式,在这里,如果你能看明白x的值是怎么一步步推导出来的就行。下面我们把例题里的数量值带入到这个公式,问题也就迎刃而解了:

当然,上面所说的,是为了训练思维,能够彻底明白“牛吃草问题”的内涵,才有这么繁琐的分析过程。其实,七八年级的同学可能已经看出来了,这就是一个列方程组解决问题的过程:

我们假设青草的生长速度为x,牧场原有青草数量为y,24头牛可以吃n天,可列方程组

12x  + y = 49×12,①

20x  + y = 35×20,②

nx   + y = 24×n。 ③

解得

X=14,

Y=420,

N=42。

另说一句,如果是单纯做这类题目,你可以用方程组,如果想训练自己的数学思维,还是建议能从根本上搞清数量之间的关系,不要怕麻烦,真正理清自己的思路。因为,经过这些年的发展和演变,“牛吃草问题”已经不再只是简单的牛吃草问题了,像水池进水排水、自动扶梯上下、检票口排队等问题,也都可以归纳为“牛吃草问题”了,比如下图中的题目,大家可以顺便练练手。

最后,有个建议送给大家,就是做应用题时,要学会使用两个辅助解题的方法,一种是列表法:把题目中所给的条件罗列清楚,按一定数序、格式排列好,哪个该用,哪个该舍的,一目了然,也能让自己的思绪清楚,就像上面我们所说所看到的;另一种是画线段图,也就是“数形结合”。在遇到复杂的、难度较高的题目时,这都是你解题的法宝,平时一定要注意练习。

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